Allgemeine lineare Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$ vom Grad ${\displaystyle n}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist die Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ bestehend aus der Menge aller regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Einträgen aus ${\displaystyle K}$

${\displaystyle G=\{A\in M_{n}(K):\operatorname {det} (A)\neq 0\}}$

zusammen mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenverknüpfung

${\displaystyle (A,B)\mapsto A\cdot B,}$

${\displaystyle M_{n}(K)}$ bezeichnet dabei den Matrizenring. Die Invertierbarkeit garantiert, dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt. Die allgemeine lineare Gruppe wird auch mit ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$ notiert.

Die Bezeichnung ${\displaystyle \operatorname {GL} }$ kommt von generell linear oder der englischen Bezeichnung „general linear group“.

Wenn der Körper ${\displaystyle K}$ ein endlicher Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ mit einer Primzahlpotenz ${\displaystyle q}$ ist, so schreibt man auch ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$ statt ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$.

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe werden als Matrizengruppen bezeichnet.